Ο Ασβέστης ξεκίνησε την αγωνιστική του καριέρα από την Ακαδημία του ΑΝΟ Γλυφάδας που κατέκτησε το πρωτάθλημα Ελλάδας Νέων ανδρών.
Το 2019 αγωνίστηκε με το σκουφάκι της ΑΕΚ μέχρι και το 2021 που ήταν δεύτερη στο κύπελλο Ελλάδας. Από το 2021 και για περίπου δύο χρόνια αγωνίστηκε με τον Ηλυσιακό στην Α1 και πέρυσι επέστρεψε για ένα χρόνο και πάλι στον «δικέφαλο».
Αναλυτικά η ανακοίνωση:
Ο Παναθηναϊκός Αθλητικός Όμιλος ανακοινώνει την έναρξη της συνεργασίας του με τον Χρήστο Ασβέστη για το τμήμα πόλο, για την αγωνιστική σεζόν 2024-2025.
Σε δήλωση του στο www.pao1908.com o Χρήστος Ασβέστης είπε «Είμαι πολύ ενθουσιασμένος που εντάσσομαι στην οικογένεια του Παναθηναϊκού. Η ομάδα σημειώνει σταθερά μια ανοδική πορεία και ευελπιστώ να βοηθήσω στην κατάκτηση ενός μεταλλίου»
